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反证法在几何问题中的应用

更新时间:2011-8-16:  来源:毕业论文

反证法在几何问题中的应用
浙江省永康市古山中学(321307)  吴汝龙
反证法是一种非常重要的数学方法,它在几何的应用极为广泛,在平面几何、立体几何、解析几何都有应用,本文选择几个有代表性的应用,举例加以介绍。
一、证明几何量之间的关系
例1:已知:四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点, 。
求证: 。
证明:假设AB不平行于CD。如图,连结AC,取AC的中点G,连结EG、FG。
∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点,
∴ , ; , 。
∵AB不平行于CD,
∴GE和GF不共线,GE、GF、EF组成一个三角形。
∴            ①
但         ②
①与②矛盾。

例2:直线 与平面 相交于 ,过点 在平面 内引直线 、 、 , 。
求证: 。
证明:毕业论文http://www.lwfree.cn/  假设PO不垂直平面 。
作 并与平面 相交于H,此时H、O不重合,连结OH。
由P作 于E, 于F,
根据三垂线定理可知, , 。
∵ ,PO是公共边,





因此,OH是 的平分线。
同理可证,OH是 的平分线。
但是,OB和OC是两条不重合的直线,OH不可能同时是 和 的平分线,产生矛盾。
∴ 。
例3:已知A、B、C、D是空间的四个点,AB、CD是异面直线。
求证:AC和BD是异面直线。
证明:假设AC和BD不是异面直线,那么AC和BD在同一平面内。
因此,A、C、B、D四点在同一平面内,这样,AB、CD就分别有两个点在这个平面内,则AB、CD在这个平面内,即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。
所以,AC和BD是异面直线
上面所举的例子,用直接证法证明都比较困难,尤其是证两条直线是异面直线,常采用反证法。
二、证明“唯一性”问题
在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时,称为“唯一性”问题。
例3:过平面 上的点A的直线 ,求证: 是唯一的。
证明:假设 不是唯一的,则过A至少还有一条直线 ,
∵ 、 是相交直线,
∴ 、 可以确定一个平面 。
设 和 相交于过点A的直线 。
∵ , ,
∴ , 。
这样在平面 内,过点A就有两条直线垂直于 ,这与定理产生矛盾。
所以, 是唯一的。
例4:试证明:在平面上所有通过点 的直线中,至少通过两个有理点(有理点指坐标 、 均为有理数的点)的直线有一条且只有一条。
证明:先证存在性。
因为直线 ,显然通过点 ,且直线 至少通过两个有理点,例如它通过 和 。这说明满足条件的直线有一条。
再证唯一性。1969

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