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利用几何画板探索轨迹的高中数学教学

更新时间:2011-12-26:  来源:毕业论文

下面通过对一个数学问题的探索,谈谈我的一点体会。
教师:求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题:怎样探索点的轨迹。
问题是数学的心脏,思维从问题开始。我们先看一个具体的例子:论文网http://www.lwfree.com/  
如图1,过椭圆 ( )的左焦点F1作弦AB。现在来研究焦点弦AB有关的问题。
轨迹1   过原点O作弦AB的垂线,垂足为M,求点M的轨迹方程。
几何画板演示:拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮,跟踪点M,得到点M的轨迹是一个小圆。如图2本文来自六.维'论,文·网原文请找腾讯752018766
“怎样求出这个小圆的方程?”
学生:按一般思路,假设弦AB所在直线的斜率为k,则AB的垂线的斜率为 ,列出这两条直线的方程,联立这两个方程解出交点(即垂足)M的坐标,最后消去参数k就得到点M的轨迹方程。哇!好复杂。
学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕,既不动手,也不说话。
教师:“你为什么不动手做?”
学生:“我在想……这个轨迹是一个圆,而且是以OF1为直径的圆,是不是有什么简单的方法做出来。噢,我知道了。一般的解题思路很容易想出来,但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法:
因为OM⊥AB ,所以|OM|2 +|F1M|2 = |OF1|2,若设点M的坐标为(x ,y),点F1的坐标为(c,0),则
x2 + y2 + (x-c)2 + y2 = c2,即 。这就是所求的轨迹方程。”
“啊!这么简单?”同学们都惊讶起来。
马上又有一个学生说:“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点F1的坐标有关,而与椭圆的弦无任何联系。就是‘给定两点O与F1,过这两点作两条互相垂直的直线,求交点的轨迹方程。’这当然很容易解得。”
教师:“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时,一定要注意设法找出动点所满足的几何条件,寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下:
轨迹2   如图3,求弦AB中点P的轨迹方程。”
“猜猜看,点P的轨迹是什么?”
不少学生已经利用几何画板演示了出来:
几何画板演示:拖动主动点A,得到点P的轨迹是
一个小椭圆,并且这个小椭圆的长轴是线段OF1即
半焦距 。如图4。
“真是椭圆。”学生的兴趣被调动起来。
“怎样求这个小椭圆的方程?”
教师在下面观察学生的解法,却发现不少学生                图3
对这类问题无从下手。
教师:“根据求轨迹方程的一般步骤,求哪一点的轨迹方程,就应该假设该点的坐标为(x,y),因此先设P点坐标为(x,y)。论文网http://www.lwfree.com/  要建立点P的坐标(x,y)满足的方程,观察图形,这里有四个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、P、F1,其中点F1是定点,A、B、P都是动点,但点A是主动点,引起点P运动的原因是由于点A在椭圆上运动。因此要找到点P与A、B、F这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。”
“点P与A、B两点的坐标的关系怎样?”
学生:“根据中点坐标公式得到 , 。”
“如何将A、B、P、F1这四点的坐标联系起来?”2266

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