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高中数学利用导数处理与不等式有关的问题

更新时间:2011-12-29:  来源:毕业论文

一、 利用导数证明不等式
(一)、利用导数得出函数单调性来证明不等式
我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,则该函数在该区间上单调递增(或递减)。因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式:
1、 直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性;再利用函数在它的同一单调递增(减)区间,自变量越大,函数值越大(小),来证明不等式成立。
例1:x>0时,求证;x -ln(1+x)<0
证明:设f(x)= x -ln(1+x)  (x>0), 则f (x)=
∵x>0,∴f (x)<0,故f(x)在(0,+∞)上递减,
所以x>0时,f(x)<f(0)=0,即x -ln(1+x)<0成立。
 2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的。
例2:已知:a,b∈R,b>a>e, 求证:ab>b a, (e为自然对数的底)
证:要证ab>b a只需证lnab>lnba 即证:blna-alnb>0
设f(x)=xlna-alnx (x>a>e);则f  (x)=lna- ,
∵a>e,x>a ∴lna>1, <1,∴f  (x)>0,因而f(x)在(e, +∞)上递增
∵b>a,∴f(b)>f(a);故blna-alnb>alna-alna=0;即blna>alnb
所以ab>b a成立。
(注意,此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnx-xlnb (e<x<b)
则 ,f′(x)>0时 时 ,故f(x)在区间(e, b)上的增减性要由 的大小而定,当然由题可以推测
故f(x)在区间(e, b)上的递减,但要证明 则需另费周折,因此,本题还是选择以a为自变量来构造函数好,由本例可知用函数单调性证明不等式时,如何选择自变量来构造函数是比较重要的。)论文网http://www.lwfree.com/  
(二)、利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式。
导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数求出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。
例3、求证:n∈N*,n≥3时,2n >2n+1
证明:要证原式,即需证:2n-2n-1>0,n≥3时成立
设f(x)=2x-2x-1(x≥3),则f (x)=2xln2-2(x≥3),
∵x≥3,∴f (x)≥23ln3-2>0
∴f(x)在[3,+∞  上是增函数,本文来自六,维.论,文·网原文请找腾讯324,9114
∴f(x)的最小值为f(3)=23-2×3-1=1>0
所以,n∈N*,n≥3时,f(n)≥f(3)>0, 即n≥3时,2n-2n-1>0成立,
例4、 的定义域是A=[a,b ,其中a,b∈R+,a<b  
若x1∈Ik=[k2,(k+1)2 , x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2
求证: >  (k∈N*)
证明:由题知g (x)=
g (x)=  =0时x4-ax3-a2b2+a2bx=0
即(x4-a2b2)-ax(x2-ab)=0,化简得(x2-ab)(x2-ax+ab)=0
所以x2-ax+ab =0或x2-ab=0,∵0<a<b,∴x2-ax+ab =0无解
由x2-ab=0解得 (舍)
故g (x)>0时x∈[ , g (x)<0时x∈[a, ,
因而g(x)在[ 上递增,在[a, 上递减
所以x= 是gA(x)的极小值点,
又∵gA(x)在区间[a,b 只有一个极值
∴gA( )=2 是gA(x)的最小值。
所以, 的最小值为 =2
 的最小值为2
又∵
∴x1∈Ik=[k2,(k+1)2 , x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2 时
 >  (k∈N*)成立
3、利用导数求出函数的值域,再证明不等式。2272

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