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不解等式证明和求解的方法

更新时间:2008-11-26:  来源:毕业论文
不解等式证明和求解的方法

众所周知,不等式是数学中不可缺少的工具之一.有许多不等式在数学研究中有着重的作用,它对于不同类型的不等式,所运用的原理及方法也不一样.灵活、巧妙地选择证明方法可以让学生在证题中达到事半功倍的效果.本文主要是通过利用函数的性质、微分学、积分学的知识来探究不等式的证明方法,进而介绍了它们在不等式证明中的一些具体应用,如在构造函数的背景下运用函数的单调性、函数的极值和最值、微分中值定理、定积分,从而达到有效地解决不等式中的证明问题.此外本文还简单地介绍了证明不等式的其它方法,如用幂级数、二次三项式、一些著名的不等式.

1.  利用函数的性质证明不等式

1.1  用函数的单调性证明不等式

1)函数的单调递增和单调递减

若当 , (或当 时, )则称函数 在闭区间 上单调递增(或单调递减),则当 ,  (或对应地当 , ).

2)函数单调递增和单调递减的充分条件:若函数 在闭区间 上是连续的,并且在其是有正的(或负的)导函数 ,则函数 上单调递增(或单调递减).

小结   此证法多用于证明具体函数的不等式,证法的步骤是:

(1)   作辅助函数 :一般取不等号两端的函数之差或之商为辅助函数;

(2)   的导数 ,并确定其在区间上的符号;

(3)   判定 单调递增还是单调递减;

(4)   求出 在两端点之一处的函数值或极值(一般必有一个端点函数值或极限值为零,或其符号确定);

(5)   用单调性定义证明所需证明的不等式.

1 证明不等式:当 时,

.
  解:下用函数的单调性证之.为此先作变量代换,令 .于是归结证明:当 时,有 .

,则 .下证 时有 .

        

            

            

显然当 时,有 .因而 上的单调增加函数. ,故 时有 ,

,亦即 时有 .

1.2  用极值证明不等式

定义:若函数 在点 的某领域 内对一切

   

则称函数在点 取得极大(小)值,极大值、极小值统称为极值.

(1) 用自由极值证明不等式

要点  若求得 在区域 上的最大、最小值分别等于 ,那么我们实际上获得了不等式   

   ( ).

反之,要证明关于函数 的不等式

                              ( ),

只须证明函数 上的最大值(或上确界) ),或 的最小值(或下确界) .

2 求证 

               .

    在区域 的边界上恒为0,而区域内部 . 的最大值只能在内部达到.

.

                     

         .

,在 内求稳定点,得

                          ,                           1

                        .                              2

这表明 内的最大值点应满足方程(1)、(2.然而在(1)、(2)所确定的点上

.

所以 , .

    (2) 用条件极值证明不等式

要点  若求得 在条件 之下的最大值为 ,那么我们就获得了不等式

  (  ) .

3 ,函数 在球面 上的极大值.证明abc为正实数时

.                                 (1)

,解得x=r,y= r,z= r .

因为 在球面 位于第一卦限的部分上连续,在这部分的边界线上, 分别为0. 为负无穷大,故 的最大值只能在这部分内部达到.( )是唯一的可疑点,所以 最大值 于是

                                 ,

                    .

两边同时平方,并用 代入便得欲证的不等式.147

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