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Vague模糊熵及其性质

更新时间:2009-12-19:  来源:毕业论文

Vague模糊熵及其性质
Vague熵及其性质

                                       
摘要:在实际生活中,我们经常遇到许多不确定事件,也即模糊事件。这些事件难以用明确的界限加以区分状态和结果,例如“高矮”、“胖瘦”、“年长年幼”等都是很模糊概念。对于这些模糊事件进行定量分析,考察它们的模糊性,研究它们的性质和计算从中获取的信息量,将对我们深刻认识模糊事件有很大的帮助,特别是在处理事情时需要做出重大决策的时候。
在1965年,Zadeh首先提出了模糊集理论,随后几十年中,它得到了不断地发展和完善,并在多个领域中得到了广泛的应用,同时模糊熵的概念应运而生。但模糊集的隶属函数值是一个单一值,不能同时表示支持与反对的证据,于是Vague集上熵定义的提出更好地来处理这个问题。通过介绍Vague熵的发展,重新定义一套Vague熵来详细说明模糊事件的信息量。
关键词:模糊集  模糊熵   隶属度  隶属函数   Vague集   Vague熵
一、知识基础:
1、模糊集与模糊熵相关定义
定义1模糊集:设 是定义域, 中任意元素 对 都有一个实数 与之对应,则称 为 上的模糊集, 为 对 的隶属度,而当 在 中变动时, 就是一个函数,称为 的隶属函数。隶属度 越接近于1,表示 属于 的程度越高, 越接近于0表示 属于 的程度越低。用取值于区间 的隶属函数 表征  属于 的程度高低。举一个例子, =表示模糊集“身高较高”的隶属函数, 表示模糊集“身高较高”,当身高 时 表明 不属于模糊集 (即“身高较高”),当 时, 表明 完全属于 ,当 时, ,且 越接近 , 越接近1, 属于 的程度就越高。这样的表 达方法显然比简单地说:“ 以上的人是高的, 以下的人就是矮的”更为合理。           

定义2模糊熵:在 上课时讲过,香农定义了概率分布为 的熵为 ,对于0-1分布来说,熵公式为: ,通过这个可以粗略描述信息的不确定性。Renyi曾经定义了概率分布为 的 序熵为: 称为模糊熵。

但是从模糊熵的定义中来看,根本不能从根本上来说明问题模糊性信息的明确度量,它只是从直觉上定义的一种对模糊事件的确定,而不能从本质上去描述。与模糊集不同的是Vague集同时提供支持与反对的证据,因而它的模糊熵来自两方面,即未知信息和不确定性信息下面我们提出Vague集的定义和Vague熵来进一步刻画模糊事件的信息量。
定义3  Vague集:设 是一个空间点集合(可以是离散点集合也可以是连续点集合),其中的任意点可以用 表示。对于Vague集Vague集 定义在 上可以用一个真隶属函数 和一个假隶属函数 表示, 是从支持 的证据导出 的肯定隶属度下界,即 是从反对 的证据所导出 的否定隶属度的下界。同时, , 构成 的子区间,而 ,它用来刻画表示未知信息的隶属度,也即 对Vague集的犹豫程度。例如 ,即 , 则在投票模型中可解释为100人中30人赞成40人反对30人弃权。
下面我将分不考虑未知信息 和考虑未知信息 两个方面来重新定义Vague集的熵,通过与别人的比较来研究新定义的Vague熵。
二、创建新定义的熵
模型一:不考虑未知信息 时的情况:此时对 关于 的隶属度为
  首先,先介绍下不考虑 时Vague熵的基本性质,通过基本性质来比较研究不同定义的Vague熵孰优孰劣。
性质1    (1) ,即 和 表示的是相互对立的事件发生可能性。
      (2)当 或 时,事件就变成了一个确定事件,此时 为非模糊事件。
性质2两个Vague集 和 是相等的,即 ,当且仅当对 有
性质3 Vague集 的补集 ,定义为:

下面我们定义Vague熵,引述Szmidt和Kacprzyk给出的直觉模糊集熵的公理化
定义:
定义4 称函数 :  为Vague集 的熵,如果它满足如下条件:
   (1) 当且仅当 ;
   (2) 当且仅当 ,有
   (3)当 时,若 且
或当 时, 且 时,有
  (4)一个Vague集的模糊熵和它的补集的模糊熵是相等的,即 
基于定义4,有些学者提出了这样一套Vague熵:
 Vague熵定义1:首先将Vague集转化为模糊集,再计算转化后的模糊集的模糊熵,596

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