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微积分的发展史论文

更新时间:2010-6-2:  来源:毕业论文

微积分的发展史论文
摘要:本篇论文主要介绍微积分的发展史,主要是萌芽创建及微积分学的一些基本概念。
关键字:微积分 萌芽 牛顿 流数术 莱布尼茨 建立
一、引言:
微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用,来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来,并包括微分学、积分学两大分支。毫无疑问,微积分的发现是世界近代科学的开端。

二、主要内容:

一)微积分学的萌芽
微积分的产生一般分为三个阶段:极限概念;求积的无限小方法;积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作,欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。古希腊时期就有求特殊图形面积的研究;用的是穷尽的方法。阿基米德(Archimedes)用内接正多边形的周长来穷尽圆周长,而求得圆周率愈来愈好的近似值,也用一连串的三角形来填充抛物线的图形,以求得其面积;这些都是穷尽法的古典例子。
对于这方面的工作,古代中国毫不逊色于西方,微积分思想在古代中国早有萌芽,甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想;公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大(最大无外)的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积,求得圆周率约等于3 .1416,他的极限思想和无穷小方法,是世界古代极限思想的深刻体现。

1、中国古代对微积分的贡献
微积分思想虽然可追朔古希腊,但它的概念和法则却是16世纪下半叶,开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷,创举世闻名的“大衍求一术”??增乘开方法解任意次数字(高次)方程近似解,比西方早500多年。特别是13世纪40年代毕业论文http://www.lwfree.cn/  论文网http://www.lwfree.com/乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”(一次同余式组解法)、“垛积术”(高阶等差级数求和)、“招差术”(高次差内差法)、“天元术”(数字高次方程一般解法)、“四元术”(四元高次方程组解法)、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果,中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作,其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件,已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后,八股取士制造成了学术上的大倒退,封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落,在微积分创立的最关键一步落伍了。
之前,公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想;公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大(最大无外)的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积,求得圆周率约等于3 .1416,他的极限思想和无穷小方法,是世界古代极限思想的深刻体现。

2、世界近代微积分的酝酿
到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。
以下介绍笛卡尔和费马的两种不同思想方法。    (1)笛卡儿求切线的“圆法”。      
    法国数学家笛卡儿用代数方法(即圆法)求出了曲线在其上某一点处的切线方程。
    笛卡儿求曲线y=f(x)过点P(x,f(x))的切线斜率的“圆法”是:(如图)过C点(曲线在点P处的法线与x轴的交点)作半径为r=CP的圆C: 。因CP是曲线y=f(x)在P点的法线,则P应是曲线与圆C的“重交点”。若 是多项式函数,有重交点就相当于方程 有重根x=e,从而 ,比较系数得v与e的关系,代入e=x,便得过P点的切线斜率 。
    以 为例。点 。设
     ,经特定系数法得知:     。
    故切线斜率 。
笛卡尔的代数方法正是后来求切线方法的雏形,牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分道路的。
(2)费马求极值的代数方法。1300

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