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有限域在数学理论和实际生产实践中的应用

时间:2017-09-20 09:24来源:毕业论文
论文首先介绍了有限域的概念,以及其相关定理和性质,然后介绍了有限域在数学理论和实际生产实践中的应用,数学理论方面是从构造正交表中的应用来介绍的,而在生产实践中的应
摘要  :本毕业论文首先介绍了有限域的概念,以及其相关定理和性质,然后介绍了有限域在数学理论和实际生产实践中的应用,数学理论方面是从构造正交表中的应用来介绍的,而在生产实践中的应用是从组合设计和秘密共享两个方面来介绍的。13547
关键词:有限域、正交表、组合设计、秘密共享
    前言 包含有限个元素的域称为有限域,有限域理论是现代代数的分支,其起源可追溯到17、18世纪,近半个多世纪以来,由于它在组合理论、编码理论、密码学等诸多学科的研究中都起着十分重要的作用,从而备受人们的关注,不断有大量新的研究成果分别从应用的角度和理论的角度推动有限域的发展。在组合设计方面,可以用有限域构作满足各种“平衡”条件的组合结构,这些结构的研究是组合学的重要数学对象,同时也被工农业科学实验广泛的采用,用有限域构作各种组合试验设计方案始于1950年。其中一个标志性事件是构作出10阶正交拉丁方,推翻了欧拉的一个猜想。差不多与此同时,有限域开始称为数字通信的重要数学工具。1960年代以后,数字通信技术得到飞速发展,在数学通信中,信号用一串数字表示,每位梳子只取有限多位可能的值。最常用的数字信号是每位只取0或1,这可看成是二元域 中的元素。一般地,考虑每位数字取为某个有限域 中的元素,便可以用有限域 和其上的多项式和幂级数来研究通信中的各种实际问题。例如:如何设计可靠的通信系统,使得能有效的纠正信息传输过程中的错误?在通信中如何加密和满足信息安全的各种需求?有限域的理论成为解决信息科学中这些问题不可缺少的数学工具。
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1.预备知识:
定理1.1记V= ,0≤k≤n。
           (1)V中k维线性集的个数为 .
            (2)设a是V中一个点,则V中包含a的k维线性集合的个数为 。
           (3)设a和b是V中两个不同的点,则V中包含a和b的k维线性集的个数为 。
定理1.2在射影面积 中,
       (1)共有  个射影点和 条射影直线。
       (2)任意两条不同射影直线均恰好交与一个射影点,任意两个不同的射影点恰好连成一条射影直线。
    (3)每条射影直线上共有q+1个射影点,过每个射影点恰好有q+1条射影直线。
定理1.3设q为奇素数的方幂,q 3(mod 4)。以D表示 中 个(非零)平方元素构成的集合。对每个a  ,令 。则q个区组 (a  )构成参数(v,k, )=(q, , )的对称BIBD。
定理1.4下表是一张t水平的正交表.

全体向量
内积
标准向量    
 定义1.1一个参数为(b,v,k,r)的组合构图叫做不完全平衡区组设计(balanced imcomplete block design,简记为BIBD),是指v≥k≥2,并且X中任意两个不同的品种 和 均恰好同时出现在 个区组之间,其中 为常数。
定义1.2  设F是一个非空集合,如果在F中定义了加法“+”和乘法“.”两种运算,并满足:(1)(F,+)构成Abel群;(2)(F--,。)构成Abel群,其中F--=F/{0}, 0为(F,+)中零元;(3)乘法对加法分配律成立,则称(F,+,)为一个域。如果F中元素只有有限个,则称F为有限域。
性质1.1设m是正整数,a和b是任意整数,如果m|(a-b),我们称a和b模m模同余,表示成a b(mod m)。
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性质1.2设m为正整数,a,b,c,d为整数,有 有限域在数学理论和实际生产实践中的应用:http://www.lwfree.cn/shuxue/20170920/13806.html
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