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对实数完备性基本定理的等价证明

时间:2017-10-10 10:41来源:毕业论文
论文通过对实数完备性基本定理的循环证明,验证了定理间的等价性,并给出了定理的相关应用,使我们对实数完备性定理有更深刻的理解,为学好数学分析奠定良好基础
摘要:实数完备性是实数集R的一种特性,通常称为实数的完备性或实数的连续性,它是数学分析中的一个重要概念.本毕业论文通过对实数完备性基本定理的循环证明,验证了定理间的等价性,并给出了定理的相关应用,使我们对实数完备性定理有更深刻的理解,为学好数学分析奠定良好基础.14068
  关键词:完备性;等价性;循环证明
The Proof on The Equivalent Relations in The Foundamental Theorems of Completeness of Real Numbers
Abstracts:The completeness is a property of the set of real numbers R. It is usually referred to as a continuity or completeness of real numbers .It is an important concept in mathematical analysis.This paper verify the equivalence of theorems by the cyclic provation,then, the paper gives the application of theorems. It can make us get a more profound understanding of the theorem, laid a good foundation for the study of mathematical analysis.
Keywords:Completeness  ; Equivalent Relation ; Cyclic Proof
目    录

摘  要1
引  言2
1.实数完备性基本定理的内容3
2.实数完备性基本定理的循环证明.4
3.实数完备性基本定理的推广及应用11
结束语...14
参考文献. . ...15
致 谢.16
对实数完备性基本定理的等价证明 引言
     实数完备性基本定理是数学分析中的基本定理和重要手段,对于一些比较繁琐的问题,如果巧妙应用实数完备性基本定理中的相关定理将会达到事半功倍的效果.查阅很多文献资料发现,对于实数完备性基本定理,前人有多种不同的证明方法,但归根结底,都是利用循环证明做出了定理本身的证明并揭示了实数完备性基本定理间的等价关系.
    理论上来说,这个体系日渐完善,学生也越来越容易理解它,但在实际应用中学生很难完全理解并熟练运用这几个基本定理,更不用说理清它们之间的相互关系及运用条件和范围了.

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    本论文首先给出实数完备性基本定理的内容,使我们可以在做证明之前对所需要用到的一些知识进行提前了解,然后又对实数完备性基本定理进行循环证明,在进一步讨论实数完备性基本定理间的等价关系及证明后,又对各个基本定理进行了推广及应用,从而帮助我们能更好的理解和掌握实数完备性基本定理的内容及运用方法.
1.实数完备性基本定理的内容
    我们知道,极限的存在性是极限理论的首要问题.一个数列是否存有极限,不但与数列本身的结构相关, 而且还与数列所在数集密切相关.从运算的方面来说, 实数集关于极限的运算,是封闭的, 它反映了实数集的连续性或完备性, 这是实数集的优良特点.因此, 把极限理论放在实数集之上, 极限理论就有了坚实的基础.
    我们常常从实数系的连续性出发来证明实数系的完备性, 也可从实数系的完备性出发去证明实数系连续性, 所以可以说这两个关系是等价的.因此,我们也将实数系的连续性称为实数系的完备性.由于实数完备性基本定理的等价证明过程较为复杂,因此在证明前我们需要先对其所涉及到的相关定义及推论给出介绍.下面我们就来阐述实数完备性包含的基本定理的内容, 为后面的证明作铺垫.
定义1.1  设 是 中的一个数集.若数 满足:(1)对一切 ,有 ,即 是 的上界;(2)对任何 ,存在 ,使得 ,即 又是 的最小上界.则称 是集 的上确界,记作 .
定义1.2  设 是 中的一个数集.若数 满足:(1)对一切 ,有 ,即 是 的下界;(2)对任何 ,存在 ,使得 即 又是 的最大下界,则称数 是数集 的下确界,记作 .
定义1.3  设闭区间列 具有如下性质: 对实数完备性基本定理的等价证明:http://www.lwfree.cn/shuxue/20171010/14492.html
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