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一阶微分方程的几类积分因子

时间:2018-07-24 21:56来源:毕业论文
摘要 归纳总结了一阶微分方程的几类积分因子,对于不同的条件给出了相应的例子. 关键词 积分因子;恰当微分方程;通解26183 引言 不同于一般的常微分方程,恰当微分方程 , 具有其

摘要  归纳总结了一阶微分方程的几类积分因子,对于不同的条件给出了相应的例子.
关键词  积分因子;恰当微分方程;通解26183
引言
    不同于一般的常微分方程,恰当微分方程
      ,
具有其特殊的性质,此类方程可以写成全微分的形式,从而可以轻易地得到原方程的解.于是,如何将一般的一阶微分方程化为恰当方程就成了解此类方程的关键点和难点.积分因子法是解决这一问题的有效手段之一,该方法主要在于寻找适当的积分因子,使得原方程化为恰当方程.
    这篇文章主要归纳了一阶微分方程的几类积分因子,并通过实际的例子来说明这几类积分因子的应用方法.
1  恰当微分方程论文网
对于一般的一阶常微分方程,我们可以将其写成微分的形式
                        ,                            (1)
这里假设 在某矩形区域内是 的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.
如果方程(1)的左端恰好是某个二元函数 的全微分,即
                       
                           ,
则称(1)为恰当微分方程.
从而, 就是方程(1)的通解,这里 是任意常数.
2  积分因子
   恰当微分方程可以容易求解出常微分方程的通解,那么如何将非恰当微分方程转化为恰当微分方程进行求解便具有重要的意义.然而,积分因子正是解决这一问题的重要概念. 源`自*六)维[论*文'网www.lwfree.cn
    顾名思义,对于形如
                          ,                             (2)
的常微分方程,积分因子 ( 且连续可微)可以使方程(2)变为恰当微分方程,即
 ,
这时 就是方程(2)的通解,这里 为任意常数.
下面将给出本文的主要定理:
2.1  形如 的积分因子
定理1. 对于常微分方程 具有形如 的积分因子的充分必要为
 ,
这里 仅为 的函数,且积分因子为 .
证明: :因为 为该方程的积分因子,则有
 ,
于是有,
 ,

 ,
又因为 仅为 的函数,则
 ,
所以,有
 ,

 ,
两边同积分则有
 .
 :由 可知,
 ,
变量分离得,
 .
定理2. 对于常微分方程 具有形如 的积分因子的充分必要为
 ,
这里 仅为 的函数,且积分因子为 .
证明:与定理1类似.
例1.  求解方程
解:因为 ,由定理1可知该方程有积分因子
 ,
所以方程两边同乘以 后可得恰当微分方程,即
 ,
 ,
其中 为任意常数.
例2. 求解方程
解:因为 ,由定理2可知该方程有积分因子
 ,
所以方程两边同乘以 后可得恰当微分方程,即
 ,
 .
其中 为任意常数.
2.2 形如 的积分因子 一阶微分方程的几类积分因子:http://www.lwfree.cn/shuxue/20180724/20281.html
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