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矩阵的特征值的界及应用

时间:2018-10-18 17:30来源:毕业论文
运用矩阵迹与矩阵范数的几个不等式关系,对特征值的界做一个粗略的估计.并用主子式之和表示估计结果,用实例验证了该方法,使计算更为简便,结果更为精确

摘要:本文运用矩阵迹与矩阵范数的几个不等式关系,对特征值的界做一个粗略的估计.并用主子式之和表示估计结果,用实例验证了该方法,使计算更为简便,结果更为精确.
毕业论文关键词:矩阵迹;矩阵范数;不等式;应用 29229
The Eigenvalues of the Matrix and the Application
Abstract:Based on the relationship between matrix trace and matrix norm of some inequalities, this article makes a rough estimate of the eigenvalues . Combined with the master norms and the examples are used to validate the method, the result will be more simple and more accurate.
Key words:Matrix trace; Matrix norm; Matrix inequalities; Application
 目录
摘要    1
引言    2
1. 预备知识    3
1.1 相关概念    3
1.2 不等式关系    3
1.3 主子式之和    4
2. 主要内容    4
2.1 定理    4
2.2 推论    11
3. 例题    11
参考文献    13
致谢    14
矩阵的特征值的界及应用引言
    矩阵是高等代数的一个重点和难点,矩阵的特征值是研究与考试中常见的一类题型.虽然大学里对特征值的界不做太多的要求,但特征值的界确实是数学研究中很重要且很基础的部分.对特征值的界的表示过程,方法灵活多样,技巧性和综合性较强,对创造思维有很大的帮助,有助于对理论知识的理解和应用,同时也对进一步学习和深造有帮助,对于提高我们的思维,技能和技巧也很有益的. 源`自*六)维[论*文'网www.lwfree.cn
    应用矩阵的迹估计特征值的界,这方面的研究,国内外已有不少成果.文献[1]探究了矩阵特征值的一些基本性质;文献[2]通过几个不等式来研究特征值;文献[3]通过找出一个与矩阵特征值相同、元素结构简单的矩阵,来给出特征值的范围;文献[4]通过主子式来表示特征值;文献[5]在实数不等式的基础上,推广了矩阵迹和范数的有关不等式;文献[6]应用Schur不等式去估计特征值;文献[7]对称一类区间矩阵的特征值进行了探讨;文献[8]-[11]则各自对特定对的矩阵的特征值进行研究.
    本文在上述文献的基础上,对特征值的界进行了总结.通过研究矩阵迹和矩阵范数之间的不等式,以及运用主子式之和表示结果,等到了矩阵特征值的一些新的界.
预备知识
1.1相关概念
定义〖 1〗^([1])  设A=(a_ij)为n×n复方阵,称它的对角元素之和为A的矩阵迹,记为trA,即trA=∑_(i=1)^n▒a_ii .若λ_1,λ_2,λ_3,…,λ_n为A的特征值,则
trA=∑_(i=1)^n▒λ_i ,〖trA〗^k=∑_(i=1)^n▒λ_i^k .
定义〖 2〗^([1])  A^*表示方阵A的转置共轭矩阵,记||A||=√(trA^* A),就有
||A||^2=〖trA〗^* A=∑_(i,j=1)^n▒〖|a_ij |^2 〗.
定义〖 3〗^([4])  记A_k 为n阶方阵A=(■(A_k&B_k@C_k&D_k ))的k阶顺序主子式,1≤k≤n-1;
B_k 为k×(n-k)阵,C_k 为(n-k)×k阵,并记
Y_1=||A||^2-〖(max)┬(1≤k≤n-1) (〗⁡〖〖||B〗_k ||〗-〖||C〗_k ||)^2;
Y_2=||1/2(A+A^*)||^2-1/2  〖 (max)┬(1≤k≤n-1) (〗⁡〖〖||B〗_k ||〗-〖||C〗_k ||)^2.
1.2不等式关系
引理〖 1〗^([2])  设〖A∈C〗^(n×n),A≠0,若秩(A)=k,则|trA|^2≤k||A||^2;当detA=0时,有|trA|^2≤(n-1)||A||^2.
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    证明  设A=(a_ij),A的所有非零特征值为λ_i≠0(i=1,2,…,k),
因为
〖trA=λ〗_1+λ_2+⋯+λ_k,
所以
                    |trA|^2=|λ_1+λ_2+⋯+λ_k |^2≤k(|λ_1 |^2+⋯+|λ_k |^2 ).                       矩阵的特征值的界及应用:http://www.lwfree.cn/shuxue/20181018/24371.html
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