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多元函数可积性的判别

时间:2019-01-13 16:19来源:毕业论文
讨论了多元函数的可积性条件.关键字 多元函数;可积;有界绝大多数的数学分析教材和期刊上关于一元函数可积性条件的讲解和介绍比较详细,而对于二元函数及二元以上的函数的可积

摘要 本文讨论了多元函数的可积性条件.关键字 多元函数;可积;有界绝大多数的数学分析教材和期刊上关于一元函数可积性条件的讲解和介绍比较详细,而对于二元函数及二元以上的函数的可积性介绍相对较少,仅仅有几个基本结论而已.本文以一元函数可积性条件的知识为理论基础,对有界闭区域上的二元函数可积性进行了研究和讨论,得出某些可积性条件,并把这些相关结论推广到二元以上的函数.32720
定义1[1] 设 为 平面上可求面积的有界闭区域, 为定义在 上的函数,用任意的曲线把 分成 个可求面积的小区域
 .
以 表示小区域 面积,这些小区域构成 的一个分割 ,以 表示小区域 的直径,称 为分割 的细度,在每个 上的任意一点 ,作和式
 .
称它为函数 在 上属于分割 的一个积分和.论文网
 是一个确定的数,若对任给正数 ,总存在某个正数 ,使对于 的任何分割 ,当它的细度   时,属于 的所有积分和都有
 ,
则称 在 上可积,数 称为函数 在 上的二重积分,记作
 ,
.其中 称为二重积分的被积函数, 称为积分变量, 称为积分区域.
定义2[1] 设 元函数 定义在 维可求体积的区域 上,照例通过 的分割,近似和取极限的过程,便可得到 重积分:
 .
引理1[1] 在 上可积的充要条件是
 ,
其中 分别为 关于分割 的达布上和与达布下和.
引理2[1]  在 上可积的充要条件是,对于任给的正数 ,存在 的某个分割 ,使得
 .
其中 分别为 关于分割 的达布上和与达布下和.
源自$六l维,论:文w网)加7位QQ3249^114 www.lwfree.cn

引理3[1]  设 是定义在有界闭区域 上的有界函数.若 得不连续点都落在有限条光滑曲线上,则 在 上可积.
    对于一元函数有下面的结论:
定理1[1] 设 在闭区间 上有界, , ,若 在 上只有 ( )为间断点,则 在 上可积.
证明 不妨设 , 在 上的振幅为 , ,取 ,因 ,
所以存在 ,使得当 时, ,从而 在 上至多只有有限个间断点,所以 在 上可积.
再由可积准则知,存在 上的分割 ,使
 .把 与 合并,就构成 的一个分割 ,则                                     ,
故由可积准则知, 在 上可积(这时 为 在 上的振幅).
把该定理推广到二元函数上:
定理2 设 在有界闭区域 上有界, , ,若 在 上只有 ( )为间断点,则 在 上可积.
证明 不妨设 , 在 上的振幅为 ,这里的 是区域上的上确界减去下确界.若对任给的正数 ,任取 ,因为 ,所以存在正数 ,当 时,
 ,
故 在   内至多有有限个间断点.
由可积准则,  上的分割 ,使得
 ,
把 与 合并,就构成了 的一个分割 , 为 在 上的振幅, 为 在 上的振幅, 是第 个小圆域的面积,
得到,
故由可积准则知, 在 上可积.
我们把它拓广到多元函数的情况,得到下面的推论. 多元函数可积性的判别:http://www.lwfree.cn/shuxue/20190113/29455.html
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