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线性微分方程组的几种解法及其应用

时间:2019-02-24 09:37来源:毕业论文
常微分方程这一课程是我们大学数学重要的组成部分,对于常微分方程的学习让我们对于更高深的数学知识有了进一步的完善,对不同的高深数学的认知也有了不同的提高,说道常微分

摘要  归纳总结了线性微分方程组的几种解法,对每一种解法给出了相应的例子。
毕业论文关键词  方程组;解法应用;线性
引言:常微分方程这一课程是我们大学数学重要的组成部分,对于常微分方程的学习让我们对于更高深的数学知识有了进一步的完善,对不同的高深数学的认知也有了不同的提高,说道常微分方程,对于我们没有接触过的人,第一印象就是解一些简单的方程,这些对我们初学者来说是喜闻乐见的,这样大大的降低了我们的学习的难度以及对于这门科的恐惧,但是毕竟是大学数学,所以事与愿违,这门学科并不是我们想象的解普通方程那么简单,但是总体而言,常微分方程,既然涉及到了方程,那么解方程当然是必不可少的重要的一个组成组分,这样的方程涉及到许多大学涉及到的高深的数学解题思想以及解题思路,需要更缜密的思维和逻辑,线性微分方程组属于常微分方程这么学科的一部分也是我们经常遇到的一个难题,线性微分方程组在生活中的应用也是相当广泛,在数学建模中的涉及为我们解决许多生活难题,所以对于线性微分方程组的知识的掌握以及学会应用这些知识非常关键,首当其冲,学会解决线性微分方程组的求解问题非常有必要并且是有其存在价值的,这就是我以此为论文论述核心的关键,我也希望经过我的论述能够帮助我们对于此类方程组的学习有一定的帮组与辅助.下面我会分成两大类,几个小类别就线性微分方程组的几种解法以及这些解法的应用进行一些分析论述.33484
1.线性齐次微分方程组的解法
1.我们知道的齐次线性微分组的表达方式是:
 
 其中 为 维函数向量,A(t)为 矩阵.接下来我会结合实例来论述怎样解决这种方程组.

源自$六l维,论:文w网)加7位QQ3249^114 www.lwfree.cn


    例:试求出方程组 对应初始条件 的解 .
     方法1(拉普拉斯变换法)
     解:首先我们应用拉普拉斯变换在方程两边
 即     即 , ,  取得反变换的  即为所求的 .
方法2(广义的特征向量的基解矩阵方法)
解:由特征方程 得特征根 令 
所以所求的解为 .
     总结:对于这种方法我们可以很清晰地看出,这种方法有利于我们求解关于含有稀少的未知函数的常系数微分线性齐次方程组,这种解法的步骤也是比较清晰地,对已知矩阵的特征方程的求解是这种方法解决问题的关键,接下来一步步得到特征根,特征向量以及基解矩阵,最终我们可以得到我们想要的答案.
      方法3( 解法)
      解:我们已知本题的特征值和特征向量,所以得到了我们需要的基解矩阵:
       总结:根据所要求的 ,从而我们第一步得求出基解矩阵 ,整理得到求 共有四种解法:1、约当(jordan)标准型的方法;2、 ;3、定义
4、 ;
     方法4(化为高阶方程方法)
     解:首先把原有的方程整理成 ,把它写成二阶的关于 的方程.把第一式的 代入第二式得到:
 ,即为 ,
对应的特征方程为 ,特征根为 ,
所以
                         (3)
又因为
        ,所以                        (4) 源自$六l维,论:文w网)加7位QQ3249^114 www.lwfree.cn
将初始条件代入(3)、(4)得 线性微分方程组的几种解法及其应用:http://www.lwfree.cn/shuxue/20190224/30618.html
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