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Beta函数及其应用+文献综述

时间:2019-04-07 18:16来源:毕业论文
介绍了Beta函数的性质及其证明,以及Beta函数和Gamma函数之间的联系,灵活运用这些可以解决数学运算中的一些问题,本文中通过举一些实例来说明了它们的应用

摘要  Beta函数和Gamma函数是数学分析里两个非常重要的积分,文章重点介绍了Beta函数的性质及其证明,以及Beta函数和Gamma函数之间的联系,灵活运用这些可以解决数学运算中的一些问题,本文中通过举一些实例来说明了它们的应用.34337
毕业论文关键词  Beta函数;性质;应用
引言
欧拉是18世纪最杰出的数学家之一,他不但为数学界作出了伟大的贡献,更是把数学推至了几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此的广泛,因此在许多数学的分支中可以经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(Euler)积分是他重要的贡献之一,它是由含参变量广义积分表示的两个特殊函数,在数理方程以及概率论与数理统计等学科中经常用到,本文重点阐述Beta函数的性质,揭示Beta函数和Gamma函数所具有的关系及其在数学分析中的应用,从而使复杂的题目有了更为简单易懂的解决方法,在提高解题能力的同时,也加深了对数学的理解和应用.
1.Beta函数的定义
 
称为贝塔(Beta)函数,(或写作 函数).
2.Beta函数的收敛域
定义:设 为函数 的瑕点,若 ,则
     当 时,瑕积分 收敛;
      当 时,瑕积分 发散.
    在积分 中有两个参数 和 ,当 时, 为瑕点;当 时, 为瑕点,所以要把它分成两个积分来讨论,即
 当 时, ,故 收敛;
当 时, ,故 发散.
同理可证:
当 时, 收敛;
当 时, 发散.
所以, 收敛域为: . 源自$六l维,论:文w网)加7位QQ3249^114 www.lwfree.cn
3.Beta函数的性质及证明
3.1 Beta函数的连续性
 在 连续.
 对任意的 , 在   连续.
 对任意的 与 , 在 一致收敛.
魏尔斯特拉斯M判别法:
设有函数 ,使得
 
若 收敛,则 在 上一致收敛.
贝塔函数在其定义域内连续.
证:对任何 , ,有
  ,
    而 收敛,所以由魏尔斯特拉斯M判别法知, 在 上一致收敛,故而 在 内连续.由 的任意性,可得 在 连续.
3.2 Beta函数的可微性
证: 在  内可微且存在任意阶连续偏导数.
    考虑积分 .
    当 , 时,恒有
    ,( )
而 收敛,故积分 在 , 时一致收敛.因此当 , 时可在积分下求导,得
 
并且 是 , 上的连续函数.
同理,  是域 上的二元函数,且当 时可在积分下求导,得
 
完全类似地用数学归纳法可证 在域 上存在连续偏导数,且  .
3.3 Beta函数的对称性
 
3.4 Beta函数的递推公式
3.5 若 为正整数,则有
 证:当 均为偶数时,显然由Beta函数的对称性和递推公式推得 Beta函数及其应用+文献综述:http://www.lwfree.cn/shuxue/20190407/31810.html
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