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推广的Ostrowski积分不等式

时间:2019-08-02 22:27来源:毕业论文
1摘要 Ostrowski 积分不等式是一个重要的积分不等式,37743 本文引入参数 ni iq 1  , 111  ni iq, , 0  iq 给出Ostrowski积分不等式的一个推广形式.关键词 Ostrowski 积分不等式;

1摘要 Ostrowski 积分不等式是一个重要的积分不等式,37743
本文引入参数 ni iq 1  , 111  ni iq, , 0  iq 给出Ostrowski积分不等式的一个推广形式.关键词 Ostrowski 积分不等式; p L 空间; Holder 不等式1 引言1938年,Ostrowski 证明了如下积分不等式[1]:    '22) (241) (1) ( f a ba bb axdt t fa bx fba其中 ) (x f 在 ] , [ b a 上连续,  b a, 上可导,且 'f : R b a  ) , ( 在 ) , ( b a 内有界,即   'f .在 P L 范数下证明了新的 Ostrowski 型不等式[2]:pbaf x L dt t fa bx f') ( ) (1) (  其中 R b a f b a x   ] , [ : ], , [ 绝对连续, 11 1, 1 ], , ['   q pp b a L f pqq qqx b a xa bx L1 1 1)1) ( ) ((1) (   利用 Holder 积分不等式,给出了推广的 Ostrowski 型不等式(1) (2)[3]:引理 1 设 R b a g f  ] , [ : , 为绝对连续, ] , [ ,' 'b a L g f p  , 11 1, 1   q pp ,则   babababadt t ga bdt t fa bdt t fa bx g dt t ga bx f ) (1) (12 ) (1) ( ) (1) (  ba pba pdt t fa bg dt t ga bf x L ) (1) (1) (' '(1)引理 2 设 ' ', , , g f g f ,与引理 3 中的相同,则      x f g x g f x L dt t ga bx f dt t fa bx g x g x fp pbaba' ') ( ) (1) ( ) (1) ( ) ( ) ( 2      (2)本文在[3]的基础上引入参数  ni iq 1  ,给出Ostrowski 型不等式的进一步推广.2 主要结论定理 1 设 R b a g f  ] , [ : , 绝对连续, ] , [ ,' 'b a L g f P  , 111  ni iq,论文网 0  iq ,则     babababadt t ga bdt t fa bdt t fa bx g dt t ga bx f ) (1) (12 ) (1) ( ) (1) (            dt t fa bg dt t ga bf x b a xSSa bba qba qSSSSSnnn nnnnnn) (1) (111 ' '1 11111111(3)其中  1111ni iq n S .定理 2 设 ' ', , , g f g f ,与定理 1 相同,则   babadt t ga bx f dt t fa bx g x g x f ) (1) ( ) (1) ( ) ( ) ( 2             ) ( ) (11 ' '1 11111111x f g x g f x b a xSSa b n nnnnnnq qSSSSSnn(4)其中  1111ni iq n S .证明 定义    ] , [ ,] , [ ,) , (b x t b tx a t a tt x K ,则      bxxabadt t f b t dt t f a t dt t f t x K ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (' ' '                  babxxabxbxxaxabxxafdt a b x ffdt b x x f fdt a x x ffdt b t t f fdt a t t fdf b t df a t) )( () )( ( ) )( () )( ( ) )( () ( ) (故 babadt t f t x Ka bdt t fa bx f ) ( ) , (1) (1) ('(5)同理有 babadt t g t x Ka bdt t ga bx g ) ( ) , (1) (1) ('(6)在(3) 、 (4)分别两边同乘 badt t ga b) (1, badt t fa b) (1,并相加,可得    babababadt t ga bdt t fa bdt t fa bx g dt t ga bx f ) (1) (12 ) (1) ( ) (1) (   babababadt t fa bdt t g t x Ka bdt t ga bdt t f t x Ka b) (1) ( ) , (1) (1) ( ) , (1 ' '] , [ b a x在上式中运用 Holder 不等式,有    babababadt t ga bdt t fa bdt t fa bx g dt t ga bx f ) (1) (12 ) (1) ( ) (1) (   babababadt t fa bdt t g t x Ka bdt t ga bdt t f t x Ka b) (1) ( ) , (1) (1) ( ) , (1 ' '     babababadt t fa bdt t g t x Ka bdt t ga bdt t f t x Ka b) (1) ( ) , (1) (1) ( ) , (1 ' '          ba qba qqbadt t f g dt t g f dt t x Ka b n nni i ni i q) ( ) ( ,1 ' '1211 1111(7)令 1111ni in qS ,有dt t b dt a t dt t x K n n n S bxS xaS ba1 1 11 1 1) , (                       11 111 111 111 1111111n Sn Sn Sn Sn Sn Sn Sn Sx b a xSSSSx b a xnnnn(8)联合(7)和(8) ,可得(3)定理 1 证毕.在(3) 、 (4)分别两边同乘 ) (x g , ) (x f ,并相加,可得 推广的Ostrowski积分不等式:http://www.lwfree.cn/shuxue/20190802/36588.html
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