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换元法在中学数学解题中的运用

时间:2019-08-04 20:49来源:毕业论文
变量的转换起到简化题目的作用.换元法实质上就是变量的等价代换,把复杂的问题简单化.换元法是解决初中、高中以及大学数学问题的一种广泛应用的手法

摘要: 所谓换元法,就是引入一个或几个新的变量代替原来的变量,从而通过解决含有新变量的函数式或不等式来解决原问题,其中变量的转换起到简化题目的作用.换元法实质上就是变量的等价代换,把复杂的问题简单化.换元法是解决初中、高中以及大学数学问题的一种广泛应用的手法,在降低式子复杂程度上有着独到的作用.本文主要介绍换元法的概念、换元的基本方法、换元法的应用以及换元法的作用.38072
毕业论文关键词: 变量替换;方法; 应用   
一、换元法的概念
在初中,我们用字母表示数,数也可以表示成字母,可以用字母表示复杂的单项式多项式等等,其实质就是换元思想.因式分解和平方差公式的运用直接体现了换元的思想.由此可见,换元思想隐含在数学的基础概念和基本方法之中那么到底什么是换元法呢?
    数学解题过程中,根据已知条件的特征,引入新的变量,对题目进行转化,形成一个用新变量表达的问题.自然地问题就移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准问题标准化,复杂问题简单化,陌生问题熟悉化,变得易于对原问题进行处理.
例1 求  的值域.
    解 令 ,则易知 ,那么原式变为 ,可易求出值域.
上例即为换元法的一个简单应用.
通过将“不熟悉的”旧问题转化为“熟悉的”新问题来达到解决原问题的目的,这样的解题方法叫做换元法.换元法的形式很多,但它们有一个公共特点:改变问题的结构形式形成新的问题,为解决旧问题提供多种可能性,它是数学中转化和划归思想的一个重要体现.

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值得注意的是,换元的过程中必须是等价替换,原函数变量的定义域、新变量的取值范围都需要考虑在内.如若疏忽了定义域,可能会对结果产生严重的偏差.这就要求我们在换元时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注意新变量范围的选择,既不能扩大也不能缩小.
二、换元法的换元方法
因为换元法的广泛应用,不少专家学者对其进行了大量的研究,见参考文献1-7.本文主要在前人的研究成果上进行归纳总结,并整合自己的一些思考和理解
运用换元法解题时,需要引入什么样的新元和怎样引入新元,不同的问题有不同的技巧和方法换元中的“元”通常作为变量理解,但是也可以作更广泛的理解比如“元”可以表示常数、函数式、代数式等等事实上,“换元”的不同形式,有不同的代换方法,这里集中介绍在数学学习与研究中最为广泛使用的几种换元方法.
1.直接换元法
直接换元法,顾名思义即直接用一个新的变量替换原来式子中的变量部分,这种换元方法适用于变量相对直观且简单的题目,替换之后的部分可以直接求解.
例2 求一元二次方程 的根.
解 令 , ,则原方程变为 ,因式分解可得 ,解之得 ,均符合,那么有 ,  ,解之得 .
如果不加以换元而用常规方法进行展开的话,不仅计算量大,而且过程繁冗;换元之后就把原先看起来复杂的问题轻易地转化为我们所熟悉的一元二次方程从而轻易求解.
2.间接换元法
与直接换元法恰好相反,当已知题目没法直接换元求解的时候,我们可以通过调整与组合方式凑出可以变量代换的部分从而应用换元法进行计算.
例3 求 的最小值.
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令 ;则  ,当 时, .
在进行等价变形后换元,实现将高次函数转化为基础的二次函数的转化,不仅开拓了思维,更突出地体现了换元的思想,无疑是换元法的灵活运用. 换元法在中学数学解题中的运用:http://www.lwfree.cn/shuxue/20190804/36978.html
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