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单位圆在三角函数中的应用(2)

时间:2019-08-08 18:17来源:毕业论文
1.预备知识 1.1单位圆的定义[1] 单位圆对于三角函数的表示有着重要意义.在数学的直角坐标系中,单位圆表示的是以(0,0)为圆心、长度1为半径的圆.假如


1.预备知识
1.1单位圆的定义[1]
单位圆对于三角函数的表示有着重要意义.在数学的直角坐标系中,单位圆表示的是以(0,0)为圆心、长度1为半径的圆.假如单位圆上的点 在第一象限中,则 与 是斜边长度为1的直角三角形中的两条直角边,由勾股定理可知, 与 满足下列方程
 
因为对所有的 、 ,有 , ,所以单位圆上的任意一点都满足以上方程.
1.2三角函数在单位圆中的定义[3]
事实上,正弦(sin)、余弦(cos)、
正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)、
余割(csc)六个函数都可以在单位圆表示出来.
如图1.
其中,正弦函数与余弦函数可以这样定义:
如图2,设 是单位圆上的一个点.角
 的起始边为 轴的正方向,角度按照逆时针
方向测量.
那么在一个周期内,角 的终边和单位圆会
有一个交点.因此
 =
 =
   则
 = ( ≠ ), ( ),
 ( ),  ( )
另外,由 可以得到
 .
从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数,对于任意的整数 有恒等式
 .
这些恒等式的依据是在角度 增加任意个2π或者减小任意个2π的时候, 与 坐标保持不变.
2.单位圆在有关三角函数性质中的应用
2.1利用单位圆理解三角函数值
假设, 为任意角,它的顶点在坐标原点O上,一条边在 的正半轴上,另外一条边是与单位圆相交于 ,经过点 作 ,交 于点 ;过点 作 , 与 的延长线或者反向延长线相交于 点.
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