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微分中值定理中值点性质的探讨

时间:2019-08-08 18:22来源:毕业论文
1.一元函数微分中值定理中值点的性质 1.1一元函数微分中值定理中值点的连续可导性 1.1.1泰勒中值定理中值点的连续可导性 引理1.(泰勒中值定理)若函数 在开区间 上存在直到n+1阶导数

1.一元函数微分中值定理中值点的性质
1.1一元函数微分中值定理中值点的连续可导性
1.1.1泰勒中值定理中值点的连续可导性
引理1.(泰勒中值定理)若函数 在开区间 上存在直到n+1阶导数, 则对任意 ,都有:              (1)
其中有 介于 之间。38315
    定理1  如果函数在开区间  上直到n+1阶导数, 在开区间 上严格单调,那么时满足(1)式的 是x的单值函数。
证   对任一 , ,有 同时符合(1)式,即有论文网
则有 因为 在开区间 内严格单调,所以 ,故 时是小的单值函数。
定理2  如果函数 在开区间 内存在直到n+2阶导数,并且 在开区间 内恒成立, 为常数, 那么 时满足(1)式的 是x的连续函数。
证   设在 内恒成立  , 那么 在 内严格单调递增,结合定理1, 时满足(1)式的 是x 的单值函数, 记 =  (x).
任意取x,
 那么  (1)式即为
 其中有 介于 之间.又有
其中  之间。于是,得
            (2)
 在 构成的区间上满足拉格朗日中值定理条件,所以有
 由(2),(3)式,可得
 因为 所以
 
因为x的任意性, 在区间 内连续。
定理3  若函数 在 内存在直到n+2阶连续导数,并且 在 内恒成立, 为常数, 那么 时满足(1)式的 是x的可导函数,并且
 
证  设在 内恒成立 ,则由定理2, 时满足(1)式的 是x的连续函数。
任意取一x,
 
则由定理2证明中的(4)式,有   
其中有 介于 之间, 之间, 之间。
因为 在点x连续,故 时, 从而 .又 在开区间 内连续,所以 所以, 微分中值定理中值点性质的探讨:http://www.lwfree.cn/shuxue/20190808/37266.html
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