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高等代数在几何中的应用

时间:2019-08-25 15:25来源:毕业论文
高等代数是数学师范生刚刚进入大学时就接触的科目,其重要性不言而喻,而且高等代数这门课程十分的抽象,学生学习起来比较吃力,再加上学生没有对高等代数知识迁移的能力

摘要 高等代数是数学师范生刚刚进入大学时就接触的科目,其重要性不言而喻,而且高等代数这门课程十分的抽象,学生学习起来比较吃力,再加上学生没有对高等代数知识迁移的能力,觉得在以后的教学生涯中使用不到,学生对学习高等代数失去兴趣和动力,自然地,高等代数这门课就成为了学生的短板.其实并不是这样的,高等代数在中学数学中是有很多应用的,特别是在几何方面的联系是非常广泛的,具体体现在数形结合思想,它可以将抽象的图形几何用代数的形式给表达出来,让大家可以通过研究代数表达式的性质来探索几何的本质.40029
毕业论文关键词 高等代数;解析几何;数形结合
引言 现代数学的基础就是高等代数,它的数学思想和解题方法不仅可以帮助我们站在更高的层面上去思考几何问题,从而确定解题思路,还能帮助我们更深层次的去探索几何问题的实质,从而获得解决几何问题的最简单快捷的方法.高等代数和解析几何联系是相互的,两者促进彼此的发展.在高等代数中,线性代数是它的主要构成内容,线性代数的几何学背景是十分深厚的.而解析几何这门课,就是运用代数方法研究几何,使得抽象的内容文字化.因此,在内容上,高等代数与解析几何是有很多重复的,如线性相关、线性无关、线性变换、正交变换、向量空间等等.两者之间的关系就像是工具和适用对象的关系,高等代数可以看做一种工具和方法,这种工具和方法可以用来解决几何问题.在解析几何中,很多抽象概念和解题方法都是通过代数这类工具来巧妙表达和运用的,然后再通过去研究代数的特点和性质,来解开几何的内在性质和问题.通过这样的研究,可以将许多几何问题刻画的更加简明和具体.下面我们就从几个方面来具体探讨高等代数是如何在几何中应用的.

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一、几何中行列式的应用
(1)行列式的定义:
   行列式:在数学中就是一种算式,一种代数式,它是由解解线性方程组产生的,行列式的特性被概括为一句话就是:多次交替线性的形式,有了这个性质就赋予了行列式一项强大的技能,它成为一种函数,这种函数能够在欧几里得空间中表示“体积”.
    行列式的定义域是一个矩阵,我们一般把它记作A,这里的A=NXN,行列式的取值不是矢量而是标量,它有自己特有的符号,一般写成det(A)也可以用| A | 表示.行列式表达的是在普通欧式空间的一种推广,表达有向面积或体积的概念.换句话说就是:在n维欧式空间里面,行列式代表的是一种影响,用行列式进行线性变换,从而对几何体进行改变,然后对体积构成影响.
(2)行列式的性质[1]:
     ①把行列式的行变成列,列变成行,可以得到一个新行列式,它与原来的行列式的值相等,这种方法叫做转置,行列式转置后,值不变;
     ②任意的两行,位置互换,值变成原来的相反数(交换列也适用);
     ③行列式某一行或者列扩大m倍,就相当于把整个行列式扩大m倍;
     ④若行列式中一行经过一定的变换,扩大(缩小)一定倍数后,等于另一行,则行列式等于零(列也适用);
     ⑤若某一列的元素都可以拆成两个数相加的形式,这个行列式可以写成另两个行列式相加的形式(行也适用);
     ⑥把某一列扩大(缩小)一定倍数,加到另一列上去,它的值不改变大小(行也适用).
(3)从几何的角度来看行列式:
     ①有一个行列式D0= ,它代表的是在平面xOy中的,一个图形的有向面积,这个图形是一个平行四边形,它以向量m= ,n= 为相邻两条边.平行四边形面积有正有负,它的正负由向量m是如何转动到向量n决定,若向量m由向量n按照顺时针转动一定的角度得到,形成平行四边形,面积的值小于零,反过来,m按照逆时针转动一定角度的,平行四边形面积为正值.那么根据类比推理,我们可以知道,3×3的行列式的值就是它的三个向量p= ,q= ,s= 在三维空间Oxyz上面张成的一个图形的有向体积,这个图形是平行六面体.平行六面体体积也是矢量,正负由三阶行列式的三个向量p,q,s所构成的法则决定.倘若三个向量是构成左手系,则行列式的值(平行六面体体积)取负值,相反的,若右手系符合,体积大于零.[4]放大到n维欧式空间,n阶行列式表示的也是图形的体积,是n维平行多面体通过n个n维向量所张成的的有向体积. 高等代数在几何中的应用:http://www.lwfree.cn/shuxue/20190825/38259.html
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