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Aczel不等式的推广

时间:2019-09-26 20:05来源:毕业论文
前人已给出了众多的证明及推广.本文在总结前人给出的结果的基础上,从两个方面研究该不等式,一方面,通过对Aczel 不等式进行相关的变形,得到另一种形式的Aczel不等式;另一方面

摘要 对于著名的Aczel 不等式,前人已给出了众多的证明及推广.本文在总结前人给出的结果的基础上,从两个方面研究该不等式,一方面,通过对Aczel 不等式进行相关的变形,得到另一种形式的Aczel不等式;另一方面,通过引入参数 ,给出了满足 的Aczel 不等式,从而推广了应用广泛地Aczel 不等式.39581
毕业论文关键词 Aczel 不等式; Popoviciu 不等式;参数;推广
1.相关介绍
在1956年,Aczel证明了下面的不等式:
 其中,  且
这就是著名的Aczel不等式.众所周知,Aczel不等式在许多领域有重要的应用,正因为如此,近年来,该不等式在其推广、变形和应用方面被广泛关注,已得到了大量相关的论文研究.
后来,Popoviciu[1]将Aczel不等式进行进一步的推广得到定理A.
定理A  设 均为大于0的实数  , 且满足  则有如下不等式成立


且当且仅当 时,等号成立.
Vasic和Pecaric[1]对上述定理进行了更进一步的研究得到定理B.
定理B设 均为大于0的实数,且满足  , 则有如下不等式成立
 
定理C设 均为大于0的实数  , 且满足  则有如下不等式成立
当且仅当 时,等号成立.
2.Aczel不等式的变形
引理1    若 且 , 均为大于0的实数且 ,则
 .
证明:当 时,不等式显然成立。不妨设 ,
令 , ,则易知当 或 时, 不妨设 ,易知
              ,
 .因为 ,则 ;又因为 ,则 .
由 ,有
 
即                源¥自%六:维;论-文'网=www.lwfree.cn
上式两边同乘 次方且利用 ,有
 
即     ,从而有  .
利用极值第二充分条件:
设 在 的某邻域 内一阶可导,在 处二阶可导,且 
 若 则 在 处取得极大值;
  若 则 在 处取得极小值.
由以上讨论可知: 在 处取得极小值.
从而有    
                         .
则        .
即       
从而                   .   
且当且仅当 时,等号成立.
定理1 设 均为大于0的实数, 且满足  则当 时有如下不等式成立
  且当且仅当 时等号成立.
证明:(用数学归纳法)当 时,上述不等式显然成立.
当 时,即证
因为
 
存在实数 满足 ,由引理1可知: Aczel不等式的推广:http://www.lwfree.cn/shuxue/20190926/39932.html
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