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两点边值问题的两种数值方法的比较

时间:2019-10-10 21:52来源:毕业论文
摘要 本文采用有限差分方法和谱配置法求解两点边值问题,建立相应的数值求解格式。数值结果表明两种方法的有效性,并比较两种方法的优劣。 毕业论文关键词 两点边值问题;有限

摘要 本文采用有限差分方法和谱配置法求解两点边值问题,建立相应的数值求解格式。数值结果表明两种方法的有效性,并比较两种方法的优劣。
毕业论文关键词 两点边值问题;有限差分方法;谱配置法
一、引言
数学中,有限差分法(finite-difference methods,简称FDM),是一种微分方程数值方法,是通过有限差分来近似导数,从而寻求微分方程的数值解。谱配置法近三十年来得到了迅猛的发展,其优点是具有高精度,并容易处理非线性或变系数问题,也称为“高阶差分方法”。39802
本文将对于两种方法进行研究,对于两点边值问题提出数值求解格式,并给出数值结果。
本文的结构如下:论文网
第二部分,回顾差分方法的基本知识;
第三部分,对于两点边值问题提出有限差分方法;
第四部分,给出有限差分法和谱配置方法的数值结果。
二、差分方法简介
   考虑二阶常微分方程边值问题:
(1)                       
(2)                                        
其中 为 上的连续函数,  为给定常数,这是最简单的椭圆型方程第一边值问题.
    将区间 分成 等分,分点为
          
 于是我们得到区间 的一个网格剖分, 称为网格节点, 称为步长. 源`自<六:维*论-文>网/www.lwfree.cn
现在将方程(1)在节点   离散化.为此,对充分光滑的解 ,由Taylor展式可得
(3)   
 其中 表示方括号内的函数在 点取值.于是在 可将方程(1)写成
(4)    
其中
(5)         
显然,当h足够小时, 是h的二阶无穷小量.舍去 ,就得到逼近方程(1)的差分方程:
(6)       
其中 , .称 为差分方程(6)的截断误差.利用差分算子 ,可将(4)写成形式
(4)'      
而在节点 处,微分方程(1)为
             
以此与(4)'相减,得
(7)       
所以 是用差分算子 代表微分算子 所引起的截断误差,它关于 的阶为
差分方程(6)当 时成立,加上边值条件 , ,就得到关于 的线性代数方程组:
(8)           
(9)       
它的解 是 于 的近似. 称(8),( 9)为逼近(1),(2)的差分方程或差分格式.由于(8)是用二阶中心差商代替(1)中二阶微商得到的,所以也称(8)为中心差分格式.


    三、变系数两点边值问题的差分格式的建立
 考虑两点边值问题:
(10)              
(11)     
假定 是给定的常数.
     首先取 个节点:
                
将区间 分成 个小区间:
                            源`自<六:维*论-文>网/www.lwfree.cn
于是得到区间 的一个网格剖分。记 称 为网格最大步长.用 表示网格内点 的集合, 表示内点和界点 的集合. 两点边值问题的两种数值方法的比较:http://www.lwfree.cn/shuxue/20191010/40483.html
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