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关于组合和递推关系的进一步探究

时间:2019-10-27 12:02来源:毕业论文
摘要 本文研究了几类新的组合数和,给出了相应的递推关系. 关键词 组合数;组合数公式;递推关系 一、引言 二项式定理是组合数学里的一个重要的定理. 一般地,二项式的展开式为:

摘要  本文研究了几类新的组合数和,给出了相应的递推关系.
关键词  组合数;组合数公式;递推关系

一、引言
    二项式定理是组合数学里的一个重要的定理. 一般地,二项式的展开式为:
 ,
其中 称为二项式系数或组合数.41488
关于组合数求和的公式,也就是组合公式,很多组合数学的书里已经讨论了很多,在参考文献[1—3]里已经给出了一系列的组合公式. 然而还有大量的、有趣的组合公式等着我们去发现、去研究. 在上述的二项式展开式中,可以令 , ,得到 ;同样地,令 , ,得到 . 文献[4]将其推广得到  .文献[6]在此基础上,并进一步得到如下结论:
定理[6]  设 是正整数,若  ,则有如下递推关系论文网
 .  
推论1[6]  设 是正整数,则有组合恒等式 = 
推论2[6]  设 是正整数,则有组合恒等式 = .
推论3[5]  设 是正整数,则有组合恒等式 = .
    本文是在文献[4]、[5]、[6]的基础上,从新的组合数求和式出发,利用初等的方法及组合公式 ,给出了这些组合数求和式的递推关系式.
二、定理和定理的证明
下面就某些有趣的组合数求和式,我们来讨论研究它们存在的某种递推关系.
在这里,将  进行改变,得到新的组合数求和式,即 .再运用初等方法和组合公式 ,得出新形式下的组合数和的递推关系式. 即
定理1  设 是正整数,若 ,则有如下递推关系
 
证明  由组合数公式 ,得 源$自,六.维/论[文;网'www.lwfree.cn
因此有
 
类似地,对其他几类有趣的组合数和式,我们也找出了其存在的递推关系,如下:
定理2  设 是正整数,若 ,则有如下递推关系式
 .
证明  由组合数公式 ,即 ,得
因此有 
 .
定理3  设 是正整数,若 ,则有如下递推关系式
 .
证明  同上,利用组合数公式 ,得 关于组合和递推关系的进一步探究:http://www.lwfree.cn/shuxue/20191027/41563.html
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